堆
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这有帮助吗？
堆是一种特殊的数据结构，应用场景很多，堆排序是一种原地排序，时间复杂度O(nlogn)。
堆是一种特殊的树，满足以下两点就是一个堆：
堆是一个完全二叉树（除了最后一层，其他层的节点个数都是满的，最后一层的节点都靠左排列）
堆中每一个节点的值都必须大于等于（或小于等于）其左右子节点的值
对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆，叫作“大顶堆”
对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆，叫作“小顶堆”
堆是完全二叉树比较适合用数组来存储。用数组来存储完全二叉树是非常节省存储空间的。因为不需要存储左右子节点的指针，单纯地通过数组的下标，就可以找到一个节点的左右子节点和父节点。
从图中可以看到，数组中下标为 i 的节点：
左子节点：是下标为 i∗2 的节点
右子节点：是下标为 i∗2+1 的节点
如果往堆尾插入一个元素后，需要继续满足堆的两个特性，这时就需要进行调整，称为堆化。堆化有两种：
从下往上
从上往下
堆化非常简单，就是顺着节点所在的路径，向上或者向下，对比，然后交换。
下面的例子是从下往上的堆化。
新插入的节点与父节点对比大小
如果不满足子节点小于等于父节点的大小关系，就互换两个节点
一直重复这个过程，直到父子节点之间满足刚说的那种大小关系
根据堆的定义，任何节点的值都大于等于（或小于等于）子树节点的值，所以，堆顶元素存储的就是堆中数据的最大值或者最小值。
假设构造的是大顶堆，堆顶元素就是最大的元素。
当删除堆顶元素后，就需要把第二大的元素放到堆顶
第二大元素肯定会出现在左右子节点中
然后再迭代地删除第二大节点
以此类推
直到叶子节点被删除
出现左侧叶子节点为空的情况，这样的删除思路导致堆不满足完全二叉树的特性。
换一下思路来解决这个问题。
当删除堆顶元素后，把最后一个节点放到堆顶
然后利用同样的父子节点对比方法
对于不满足父子节点大小关系的，互换两个节点
并且重复进行这个过程，直到父子节点之间满足大小关系为止
这就是从上往下的堆化方法。
因为移除的是数组中的最后一个元素，而在堆化的过程中，都是交换操作，不会出现数组中的“空洞”，所以这种方法堆化之后的结果，肯定满足完全二叉树的特性。
首先将数组原地建成一个堆。所谓“原地”就是，不借助另一个数组，就在原数组上操作。建堆的过程，有两种思路。
第一种是按照在堆中插入一个元素的思路。假设起初堆中只包含一个数据，就是下标为 1 的数据。然后，调用插入操作，将下标从 2 到 n 的数据依次插入到堆中。这样就将包含 n 个数据的数组，组织成了堆。这种建堆思路的处理过程是：
从前往后处理数组数据
并且每个数据都是从下往上堆化
第二种实现思路，跟第一种截然相反：
从后往前处理数组
并且每个数据都是从上往下堆化
举个例子操作第二种实现思路的建堆分解步骤图。因为叶子节点往下堆化只能自己跟自己比较，所以直接从第一个非叶子节点开始，依次堆化就行了。
因为叶子节点不需要堆化，所以需要堆化的节点从倒数第二层开始。每个节点堆化的过程中，需要比较和交换的节点个数与该节点的高度 k 成正比。
将每个非叶子节点的高度求和：
把公式左右都乘以 2，就得到另一个公式 S2，将 S2 错位对齐，并且用 S2 减去 S1，可以得到 S。
S 的中间部分是一个等比数列，所以最后可以用等比数列的求和公式来计算。
建堆结束之后，数组中的数据已经是按照大顶堆的特性来组织的。数组中的第一个元素就是堆顶，也就是最大的元素。
把堆顶元素跟最后一个元素交换，那最大元素就放到了下标为 n 的位置，然后开始堆化。
这个过程类似“删除堆顶元素”的操作，当堆顶元素移除之后，把下标为 n 的元素放到堆顶，然后再通过堆化的方法，将剩下的 n−1 个元素重新构建成堆。
堆化完成之后，再取堆顶的元素，放到下标是 n−1 的位置
一直重复这个过程
直到最后堆中只剩下标为 1 的一个元素，排序工作就完成了
整个堆排序的过程，都只需要极个别临时存储空间，所以堆排序是原地排序算法。
堆排序包括建堆和排序两个操作，建堆过程的时间复杂度是 O(n)，排序过程的时间复杂度是 O(nlogn)，所以，堆排序整体的时间复杂度是 O(nlogn)。
堆排序是不稳定排序算法，因为在排序的过程，存在将堆的最后一个节点跟堆顶节点互换的操作，所以就有可能改变值相同数据的原始相对顺序。
上面都是假设，堆中的数据是从数组下标为 1 的位置开始存储。那如果从 0 开始存储，实际上处理思路是没有任何变化的，唯一变化的，可能就是，代码实现的时候，计算子节点和父节点的下标的公式改变了。
如果节点的下标是 i，那左子节点的下标就是 2∗i+1，右子节点的下标就是 2∗i+2，父节点的下标就是 (i-1)/2。
在实际开发中，快速排序要比堆排序性能好：
堆排序数据访问的方式没有快速排序友好
对于快速排序来说，数据是顺序访问的（对CPU友好）
对于堆排序来说，数据是跳着访问的（堆排序中，最重要的一个操作就是数据的堆化）
对于同样的数据，在排序过程中，堆排序算法的数据交换次数要多于快速排序
对于基于比较的排序算法来说，整个排序过程就是由两个基本的操作组成的，比较和交换（或移动）。
堆排序的第一步是建堆，建堆的过程会打乱数据原有的相对先后顺序，导致原数据的有序度降低。比如，对于一组已经有序的数据来说，经过建堆之后，数据反而变得更无序了。
优先级队列是一个队列，最大的特性就是先进先出。在优先级队列中，数据的出队顺序不是先进先出，而是按照优先级来，优先级最高的，最先出队。
实现一个优先级队列方法有很多，用堆来实现是最直接、最高效的。因为，堆和优先级队列非常相似。一个堆就可以看作一个优先级队列。很多时候，它们只是概念上的区分而已。
往优先级队列中插入一个元素，就相当于往堆中插入一个元素
从优先级队列中取出优先级最高的元素，就相当于取出堆顶元素
优先级队列的应用场景非常多。很多语言中，都提供了优先级队列的实现，比如：
Java 的 PriorityQueue
C++ 的 priority_queue
举两个具体的例子，来感受一下优先级队列。
假设有 100 个小文件，
每个文件的大小是 100MB，
每个文件中存储的都是有序的字符串
希望将这 100 个小文件合并成一个有序的大文件，使用优先级队列，整体思路有点像归并排序中的合并函数。
从这 100 个文件中，各取第一个字符串，放入数组中，然后比较大小，把最小的那个字符串放入合并后的大文件中，并从数组中删除
假设，这个最小的字符串来自于 13.txt 这个小文件，就再从这个小文件取下一个字符串，放到数组中，重新比较大小，并且选择最小的放入合并后的大文件，将它从数组中删除
依次类推，直到所有的文件中的数据都放入到大文件为止
这里用数组这种数据结构，来存储从小文件中取出来的字符串。每次从数组中取最小字符串，都需要循环遍历整个数组，显然，这不是很高效。
将数组换成优先级队列（堆）。
将从小文件中取出来的字符串放入到小顶堆中，堆顶的元素就是优先级队列队首的元素，就是最小的字符串
将这个字符串放入到大文件中，并将其从堆中删除
再从小文件中取出下一个字符串，放入到堆中
循环这个过程，将 100 个小文件中的数据依次放入到大文件中
删除堆顶数据和往堆中插入数据的时间复杂度都是 O(logn)，n 表示堆中的数据个数，这里就是 100。
假设有一个定时器，定时器中维护了很多定时任务，每个任务都设定了一个要触发执行的时间点。定时器每过一个很小的单位时间（比如 1 秒），就扫描一遍任务，看是否有任务到达设定的执行时间。如果到达了，就拿出来执行。
时间
任务
2018.11.28.17:30
A
2018.11.28.19:20
B
2018.11.28.15:31
C
2018.11.28.13:55
D
但是，每过 1 秒就扫描一遍任务列表的做法比较低效，主要原因有两点：
第一，任务的约定执行时间离当前时间可能还有很久，这样前面很多次扫描其实都是徒劳的；
第二，每次都要扫描整个任务列表，如果任务列表很大的话，势必会比较耗时。
针对这些问题，可以用优先级队列来解决。
按照任务设定的执行时间，将这些任务存储在优先级队列中
队列首部（也就是小顶堆的堆顶）存储的是最先执行的任务
定时器就不需要每隔 1 秒就扫描一遍任务列表了。它拿队首任务的执行时间点，与当前时间点相减，得到一个时间间隔 T。这个时间间隔 T 就是，从当前时间开始，需要等待多久，才会有第一个任务需要被执行
这定时器就可以设定在 T 秒之后，再来执行任务。从当前时间点到T-1秒这段时间里，定时器都不需要做任何事情
当 T 秒时间过去之后，定时器取优先级队列中队首的任务执行
再计算新的队首任务的执行时间点与当前时间点的差值，把这个值作为定时器执行下一个任务需要等待的时间
这样，定时器既不用间隔 1 秒就轮询一次，也不用遍历整个任务列表，性能也就提高了。
把求 Top K 的问题抽象成两类。
针对静态数据集合，也就是说数据集合事先确定，不会再变。
针对动态数据集合，也就是说数据集合事先并不确定，有数据动态地加入到集合中。
针对静态数据，在一个包含 n 个数据的数组中，查找前 K 大数据，可以通过维护一个大小为 K 的小顶堆。
顺序遍历数组，从数组中取出数据与堆顶元素比较
如果比堆顶元素大，就把堆顶元素删除，并且将这个元素插入到堆中
如果比堆顶元素小，则不做处理，继续遍历数组
等数组中的数据都遍历完之后，堆中的数据就是前 K 大数据了。
遍历数组需要 O(n) 的时间复杂度，一次堆化操作需要 O(logK) 的时间复杂度，所以最坏情况下，n 个元素都入堆一次，时间复杂度就是 O(nlogK)。
针对动态数据求得 Top K 就是实时 Top K。
动态数据集合有两个操作：
添加数据
询问当前的前 K 大数据
如果每次询问前 K 大数据，都基于当前的数据重新计算的话，那时间复杂度就是
O(nlogK)，n 表示当前的数据的大小。
实际上，可以一直都维护一个 K 大小的小顶堆：
当有数据被添加到集合中时，拿它与堆顶的元素对比
如果比堆顶元素大，就把堆顶元素删除，并且将这个元素插入到堆中
如果比堆顶元素小，则不做处理
这样，无论何时查询当前的前 K 大数据，都可以立刻返回。
求数据集合中的中位数（处在中间位置的那个数），假设数据是从 0 开始编号：
如果面对的是动态数据集合，中位数在不停变动，每次询问中位数的时候，都要先进行排序，那效率就不高了。 借助堆可以不排序的情况下，就非常高效地实现求中位数操作。
维护两个堆：
大顶堆：存储前半部分数据
小顶堆：存储后半部分数据
小顶堆中的数据都大于大顶堆中的数据。
如果有 n 个数据，：
数据是动态变化的，当新添加一个数据时调整两个堆，让大顶堆中的堆顶元素继续是中位数：
如果新加入的数据小于等于大顶堆的堆顶元素，就将这个新数据插入到大顶堆
否则，就将这个新数据插入到小顶堆
这个时候就有可能出现，两个堆中的数据个数不符合前面约定的情况：
这个时候，可以从一个堆中不停地将堆顶元素移动到另一个堆，通过这样的调整，来让两个堆中的数据满足上面的约定。
于是，就可以利用两个堆，一个大顶堆、一个小顶堆，实现在动态数据集合中求中位数的操作。插入数据因为需要涉及堆化，所以时间复杂度变成了 O(logn)，但是求中位数只需要返回大顶堆的堆顶元素就可以了，所以时间复杂度就是 O(1)。
利用两个堆快速求其他百分位的数据，原理与求中位数类似。
如何快速求接口的99%的响应时间？
中位数的概念就是将数据从小到大排列，处于中间位置，就叫中位数，这个数据会大于等于前面 50% 的数据。
99百分位数的概念可以类比中位数，如果将一组数据从小到大排列，这个 99 百分位数就是大于前面 99% 数据的那个数据。
如果有 100 个接口访问请求，每个接口请求的响应时间都不同，比如 55 毫秒、100 毫秒、23 毫秒等，把这 100 个接口的响应时间按照从小到大排列，排在第 99 的那个数据就是 99% 响应时间，也叫 99 百分位响应时间。
如果有 n 个数据，将数据从小到大排列之后，99 百分位数大约就是第 n*99% 个数据，同类，80 百分位数大约就是第 n*80% 个数据。
假设当前总数据的个数是 n，求 99% 响应时间，只需要维护两个堆：
大顶堆：保存 n*99% 个数据
小顶堆：保存 n*1% 个数据
大顶堆堆顶的数据就是要找的 99% 响应时间。
每次插入一个数据时，要判断这个数据跟大顶堆和小顶堆堆顶数据的大小关系，然后决定插入到哪个堆中。
如果这个新插入的数据比大顶堆的堆顶数据小，那就插入大顶堆
如果这个新插入的数据比小顶堆的堆顶数据大，那就插入小顶堆
为了保持大顶堆中的数据占 99%，小顶堆中的数据占 1%，在每次新插入数据之后，要重新计算大顶堆和小顶堆中的数据个数，是否还符合 99:1 这个比例。如果不符合，就将一个堆中的数据移动到另一个堆，直到满足这个比例。
通过这样的方法，每次插入数据，可能会涉及几个数据的堆化操作，所以时间复杂度是 O(logn)。每次求 99% 响应时间的时候，直接返回大顶堆中的堆顶数据即可，时间复杂度是 O(1)。
父节点：是下标为 的节点
一个包含 n 个节点的完全二叉树，树的高度不会超过 。堆化的过程是顺着节点所在路径比较交换的，所以堆化的时间复杂度跟树的高度成正比，也就是 。
插入数据和删除堆顶元素的主要逻辑就是堆化，所以，往堆中插入一个元素和删除堆顶元素的时间复杂度都是 。
借助于堆这种数据结构实现的排序算法，就叫作堆排序，它的时间复杂度非常稳定，是 ，并且它还是原地排序算法。把堆排序的过程大致分解成两个大的步骤，建堆和排序。
对于完全二叉树来说，下标从 到 n 的节点都是叶子节点，不需要参与堆化的过程，所以对下标从 开始到 1 的数据进行堆化。
每个节点堆化的时间复杂度是 O(logn)，个节点堆化的总时间复杂度就是O(nlogn)，更精确一点，堆排序的建堆过程的时间复杂度是 O(n)。
因为 ，代入公式 S，就能得到 S=O(n)，所以，建堆的时间复杂度就是 O(n)。
如果数据的个数是奇数，把数据从小到大排列，那第 个数据就是中位数；
如果数据的个数是偶数，那处于中间位置的数据有两个，第 个和第 个数据，任意取一个作为中位数（比如取两个数中靠前的那个，就是第 个数据）
对于一组静态数据，中位数是固定的，先排序，第 个数据就是中位数，每次询问中位数的时候，直接返回这个固定的值就好了。虽然排序的代价比较大，但是边际成本会很小。
n 是偶数，从小到大排序，那前 个数据存储在大顶堆中，后 个数据存储在小顶堆中。这样，大顶堆中的堆顶元素就是中位数
n 是奇数，大顶堆就存储 个数据，小顶堆中就存储 个数据
n 是偶数，两个堆中的数据个数都是
n 是奇数，大顶堆有 个数据，小顶堆有 个数据
